上周在六安城郊的一所小学听三年级《两位数乘一位数》的随堂课，碰到个快把我憋出内伤的场景。
题目是”每盒彩笔12支，买4盒一共多少支”。全班42个孩子，37个能算出48。但你问他”你画个图给我看看你怎么想的”，21个孩子举着空白的练习册愣着。
真的愣。
不是不会算。是不知道怎么把脑子里那点模糊的”乘就是叠起来”的感觉，倒腾成能写在纸上、说给人听的东西。
之前很多老师跟我聊，说现在的孩子”假会”——题能做对，但是问他为什么这么做，他答不上来。我以前也觉得是孩子表达能力差，后来跑了不下百所学校听课，才慢慢反应过来：哪是表达差，是从他接触数学的第一天起，就没人教过他怎么在不同的数学表达形式之间来回转。
这就是我们今天要聊的数学表征转换。
我们之前对数学表征转换的理解，可能从根上就偏了
很多人一听到”表征转换”，就觉得是个很玄的教育学术语，是专家在会议室里抠出来的概念。其实根本不是。
你想想，孩子学数学的时候，接触的所有东西，是不是都是不同形式的”表征”？是手里拿的小棒，是草稿本上画的歪歪扭扭的圆圈，是写在练习册上的阿拉伯数字，是课本上印的线段图，是嘴里念叨的”几个几相加”，甚至是上课的时候，他用手在空中比划的”往上爬、往下掉”的抛物线轨迹。这些都是表征。所谓转换，就是同一个数学对象，能在这些不同的形式之间自由倒腾——比如你知道12×4，既可以用4堆小棒表示，也可以用连加的算式表示，还可以用画了4段的线段图表示，更能用一句”4个12的和”说清楚。
我之前碰到过最离谱的一种误解：有个教了20年书的老教师跟我说，”表征转换不就是教具演示吗？我上课的时候拿个卡片、拿个小棒摆给学生看，不就是做表征转换了？”
不对。
真的不对。
老师在讲台上摆的小棒，那是老师的表征，不是学生的。就像你看别人游泳，永远学不会自己游。你在讲台上把小棒摆得整整齐齐，告诉孩子”你看，这就是12×4″，孩子坐在下面睁着眼睛看，他根本没把这个小棒的形象和他自己脑子里的数学认知连起来。等他转过头自己做题的时候，那个小棒的形象早就没了，剩下的只有你说的那句”两位数乘一位数要从个位乘起”的死规则。
这里就得提认知负荷理论了。为啥很多孩子学数学越学越累？因为我们总想着把最抽象的符号直接塞给孩子，把中间的具象操作、半具象的画图环节全给砍了。孩子的工作记忆容量就那么大，你一上来就让他记”乘法要对齐数位””分数要先通分””函数要对应唯一的x”，他根本没有办法把这些规则和他已经有的生活经验连起来，所有的认知资源都用来硬背规则，当然累。
我见过一个教二年级的老师，教乘法口诀，一上课就把九九乘法表写在黑板上，让孩子读10遍，背3遍，然后做练习题。最后单元测试，一半的孩子把”三六十八”和”三四十二”搞混。为啥？因为他从来没经历过具象的表征转换——他没拿小棒摆过3堆，每堆6根，一共18根；没画过3排圆圈，每排6个，数出来一共18个；更没自己数过3组6个的苹果，加起来是18。他就是硬背的口诀，那当然容易混。
换到初中也是一样。我去年在合肥一所初中听七年级的一元一次方程课，老师讲相遇问题，上来就把公式”路程=速度和×时间”写在黑板上，让孩子把题里的数字往公式里套。结果碰到一道稍微变了形的题：”甲乙两人相距1000米，甲先出发5分钟，每分钟走60米，乙再从对面出发，每分钟走40米，问乙出发多久后两人相遇”。全班一半的孩子直接把1000除以(60+40)，算出来10分钟，根本忘了甲先走的那一段。
你说他不会套公式吗？他会。但是他根本没有把题目里的文字，转换成自己脑子里的线段图——他没在草稿本上画一条1000米的线，标出来甲先走的那300米，再标出来剩下的700米是两个人一起走的。他就是直接套公式，当然碰到变形的题就错。
这时候再拿建构主义的视角看，就更清楚了：数学知识从来不是老师从外面塞给学生的，是学生自己在不同的表征形式之间来回倒腾、慢慢建构出来的。你把中间的转换环节全砍了，学生建构出来的就是个空架子——看着像那么回事，风一吹就倒。
别把转换链掐断：课堂里最容易踩的三个坑
跑了这么多学校，我发现很多老师不是不想做表征转换，是根本不知道自己在哪个环节把转换的链条给掐断了。总结下来，最常见的坑有三个，几乎每节课都能碰到。
第一个坑，就是把表征变成了有严格格式要求的”答题任务”。
之前在芜湖听五年级的分数课，有个胖乎乎的小男孩，在表示3/4的时候，画了个歪歪扭扭的披萨，上面涂了三块，举着本子特别开心地给老师看。结果老师扫了一眼，拿起红笔打了个半对，说”你这个披萨画的不圆，应该画标准的正方形，分成四个相等的格子，涂三个格才对。下次注意画图要规范。”
那个小男孩的脸”唰”一下就垮了。
冤不冤？太冤了。
他本来是真的理解了3/4是什么意思——就是把一个整体分成一样大的四份，取其中的三份。结果就因为他画的披萨不圆，就被否定了。从那以后，他再碰到让他画图的题，肯定会觉得”画图是个麻烦事，得画得特别标准才能得分”，根本不会觉得画图是帮他理解题的工具。
你想想，当你给表征加上一堆格式要求——线必须用直尺画，圆必须用圆规画，图必须和课本上的一模一样——那孩子的认知资源就全用来满足你的格式要求了，根本没精力去想”我画的这个图，是不是真的把我想的数学关系表达出来了”。本来表征转换是帮他降低认知负荷的，结果你给加了一堆条条框框，反而把认知负荷拉满了。最后孩子一提到画图就头疼，觉得这是老师布置的额外作业，不是自己理解数学的帮手。
第二个坑，就是转换的时候直接跳步，从文字题一下蹦到抽象算式。
我之前在宿州的一所乡村小学做调研，发现那里的老师特别喜欢”赶进度”。教两位数乘一位数，第一节课就讲竖式的写法，讲完就让孩子做20道练习题，根本不让孩子摆小棒、画图。结果单元测试的时候，好多孩子在算”12×4″的时候，把十位上的1忘了乘4，直接算成2×4=8，得出来的结果是8。
为啥？因为他根本没经历过从具象到抽象的转换过程。他不知道12是1个十和2个一，乘4的时候，1个十也要乘4，变成4个十。他就是硬记的竖式规则：个位乘完了乘十位，但是他根本不知道为什么要乘十位，那当然容易漏。
换到初中也是一样。教二次函数的图像，很多老师一上课就把抛物线的标准形式写在黑板上，告诉孩子”a决定开口方向，顶点坐标是(-b/2a, (4ac-b²)/4a)”，然后就让孩子背公式，做练习题。结果孩子碰到一道实际问题”抛一个篮球，篮球的高度随时间怎么变化”，他根本不知道这个实际问题和那个抽象的抛物线公式有啥关系。他从来没经历过转换：从自己抛篮球的操作体验（具象表征），到记录不同时间的篮球高度填成表格（半具象表征），到在坐标系里把点描出来连成线（图形表征），最后到写出对应的函数解析式（抽象符号表征）。他就是硬背的公式，当然不会用。
第三个坑，就是评价的时候只看最终的算式对不对，根本不管转换的过程。
还是之前那个六安的三年级班，老师批改作业的时候，只要孩子算出来48，就给个优，根本不管孩子是怎么算的。结果等到后面学两步计算的题：”每盒彩笔12支，买4盒，其中有3支是坏的，能用的有多少支”，好多孩子直接列12×4=48，忘了减去3支坏的。
为啥？因为之前他做12×4的时候，根本没有建立表征转换的意识——他根本不知道12×4这个算式，是从”4盒彩笔，每盒12支”的具象场景来的，他就是把题里的两个数字乘起来，就得到答案了。碰到两步题的时候，他还是习惯性地把数字乘起来，根本没想着先把题目的场景转换成自己能理解的图，理清楚哪个条件是啥意思。
这里就得提形成性评价的逻辑了。我们之前的评价，总喜欢盯着最终的结果——算式对不对，答案对不对，但是根本不看学生在解决问题的过程中，有没有在不同的表征之间来回转换。其实真正的形成性评价，就是要在上课的时候，多问一句”你是怎么想的？能不能画个图给我看看？”，只要他能把自己的转换过程说清楚、画出来，就算他最后算错了，也是值得肯定的。反过来，就算他算对了，但是说不清楚自己怎么想的，那也是”假会”，得赶紧帮他补上转换的环节。
把转换的主动权还给学生：两个能直接落地的路径
说了这么多坑，肯定有老师会问，那到底怎么做才对？其实根本不需要搞什么花里胡哨的创新，只要把之前掐断的转换链条接上，把主动权还给学生，两个简单的方法就能见效。
第一个方法，就是搭好三阶转换的脚手架，不跳步，不卡死。
这里就要用到最近发展区的理论了。脚手架不能搭得太高，也不能搭得太低，要刚好在孩子跳一下就能够到的位置。对于低段的孩子，第一阶就是具象操作表征——拿实物摆，拿小棒凑，拿纸片折，让他动手玩；第二阶是半具象的图形表征——让他把刚才摆的、折的东西画下来，不管画的好不好，只要能看出来他的操作过程就行；第三阶才是抽象的符号表征——让他把刚才画的东西，写成算式，用符号表示出来。
比如教一年级的20以内进位加法，9+4，第一阶就让孩子拿小棒，9根红的，4根黄的，让他自己想办法凑成十。孩子会自己把1根黄的移到红的那边，凑成10根，剩下3根，加起来就是13；第二阶就让他把这个移小棒的过程画下来——左边画10个圈，右边画3个圈；第三阶再让他写算式9+1+3=13，最后慢慢过渡到9+4=13。这个过程一点都不耽误时间，反而因为孩子真的理解了，后面练题的速度会快很多。
我之前在宿州的那所乡村小学，之前的老师总觉得拿小棒摆是”耽误时间”，不如直接讲算式练题快。后来我们一起调整了教案，每节课留10分钟的操作时间，让孩子摆小棒、画小棒，就花了两周时间，那个班的计算正确率比平行班高了近20%。你说这时间是耽误了吗？根本不是。这是把根扎稳了，后面学更难的知识的时候，才不会晃。
这个方法到初中也一样能用。比如教因式分解，a²+2ab+b²=(a+b)²，第一阶就让孩子拿不同边长的正方形、长方形纸片拼——一个边长a的正方形，两个长a宽b的长方形，一个边长b的正方形，让他自己拼，看能拼成什么形状。孩子拼着拼着就会发现，这些纸片刚好能拼成一个边长为a+b的大正方形；第二阶就让他把这个拼的过程画在草稿本上；第三阶再让他写出对应的等式。这时候他根本不需要死记硬背那个公式，因为他自己拼过、画过，早就知道这个等式是怎么来的了。
甚至跨学科的场景里也能用。比如科学课上测小石块的密度，第一阶就是具象操作表征——用天平称石块的重量，用量筒测石块的体积；第二阶是半具象的表格表征——把测出来的重量、体积数值填到表格里；第三阶是抽象的符号表征——用密度公式ρ=m/V算出来结果。这个过程其实就是数学表征转换的跨学科应用，孩子练多了，不管是学数学还是学科学，都能快速把具象的操作转换成抽象的公式。
第二个方法，就是开”表征盲盒”的课堂活动，让孩子自己找转换的感觉。
什么叫表征盲盒？就是老师把同一个数学问题的不同表征形式，写在小卡片上，放到不透明的盒子里，让孩子随机抽。抽到哪个，就站起来讲一讲，这个卡片上的内容，说的是什么数学道理，和其他同学抽到的内容是不是说的同一件事。
比如小学三年级学12×4，盲盒里的卡片可以写：画着4堆小棒的图、写着12+12+12+12的连加算式、画着四段线段的线段图、写着”4个12相加的和”的文字描述。孩子抽到哪个，就讲哪个。讲完了大家一起对一对：哦，原来这些不同的形式，说的都是12×4这个事。
这个活动好在哪里？它打破了很多孩子的刻板印象——原来数学不是只有写在练习册上的算式才算数，画图、连加、文字描述，都是数学的一部分。之前总觉得画图是”不正规”的孩子，玩几次盲盒就会发现，原来不同的表征形式是平等的，没有高低贵贱之分，哪个好用就用哪个。
你别觉得这个活动是给低段孩子玩的。去年我在南京参加教研活动，看到一个初二的班也在玩类似的盲盒，卡片是和二次函数有关的：有开口向上的抛物线图、有解析式y=x²-2x+3、有顶点坐标(1,2)、有实际问题”用20米的篱笆围一个矩形花圃，最大面积是多少”。孩子们玩得特别起劲，之前总觉得二次函数是抽象的、难的，结果玩了两节课的盲盒，好多孩子说”原来这些东西都是一回事啊，就是换个样子说而已”。
玩的过程中，孩子的元认知能力也会慢慢长出来。他会开始主动想：我现在碰到的这个题，用哪个表征形式最方便？比如碰到复杂的应用题，他会主动画个线段图理清楚关系；碰到抽象的函数题，他会主动想想这个函数对应的实际场景是什么。这种能力是会迁移的，不是只在数学题里有用。
之前有老师跟我吐槽，说这么做太费时间了，本来一节课能讲完两个例题，现在花时间摆小棒、玩盲盒，根本讲不完。
说实话，我见过太多老师把”讲完”当成”教会了”。你在讲台上讲得唾沫横飞，把所有的知识点都讲完了，孩子坐在下面根本没听进去，没理解，那有什么用？之前有个老师跟我算过一笔账：之前他教分数的初步认识，因为没做表征转换的环节，单元测试里有一半的孩子丢分，他花了整整两节课给孩子补，补完了还是有三分之一的孩子错。后来他调整了教案，第一节课就花20分钟让孩子拿圆形纸片折一折、涂一涂，把不同的分数用图表示出来，第二节课再讲分数的概念，结果单元测试的时候，丢分的孩子还不到10%。你算一下，哪个更省时间？
甚至在家校沟通的时候，这个道理也能用。很多家长找我咨询，说”我家孩子数学不好，是不是要多刷点题？”我都会跟家长说，别光刷题，回家可以让孩子把今天学的数学题，用画图的方式讲给你听。不管他画的是歪歪扭扭的小棒，还是画的披萨、篮球，只要他能讲出来这个图和题目的关系，就说明他真的理解了。比刷10道题都管用。
前几天碰到之前在六安听课认识的那个三年级小丫头，她现在上六年级了，上次在商场碰到我，拉着我的手说，她现在做数学题，最喜欢先画个图，画着画着题就会了。我当时听了，比拿了什么省级教研奖状都开心。
其实数学从来不是一堆干巴巴的符号。
是小棒堆起来的数。
是画歪了的披萨上的一半。
是两个人走路的时候，中间那段越来越短的距离。
是篮球抛起来的时候，划过的那道弧线。
我们做老师的，别总想着把符号直接塞给孩子。
得帮着他，把这些藏在生活里的数学，一点点转成他能看懂、能说出来、能写下来的东西。
就够了。