2026-11-11 07:27:31 作者：fawen
分类：基础教育
上周跑了三所学校的教研活动。
听了六节数学课。
两节低段的数概念，两节中段的分数，两节初中的代数入门。
说真的，越听越觉得，现在大家嘴上说要培养数学抽象素养，实际上十节课里有八节，都把抽象上成了“赶进度”。
被简化的“数学抽象”：不是“扔掉实物”的一刀切
上周听的第一节三年级数感课，印象特别深。老师拿着一整盒彩色小棒，带着学生从1数到10，数到10的时候，她突然把所有小棒哗啦一下收进讲台抽屉，转身就在黑板上写下“10个一是1个十”。底下坐的小孩，有的抠橡皮，有的盯着桌角的卡通贴纸发呆，整节课没人敢问——刚才那堆花花绿绿的小棒呢？
这就是典型的假抽象。
小学一年级数学课堂学生操作小棒认识十进制实景
很多老师对数学抽象的理解，从根上就偏了。大家总觉得，抽象就是要把所有具体的、看得见摸得着的东西全部扔掉，只剩下干巴巴的概念、公式、符号。好像只要把实物一收，把定义一写，学生就自动完成了从具象到抽象的跨越。
真的不是。
从建构主义的认知发展逻辑来看，低段儿童的数学抽象，从来不是被动地“去掉实物”，而是要在反复的动手操作中，把外部的动作经验，一点点内化成自己脑子里的心理图式。就像认识十进制，小孩不是听老师说“10个一是1个十”就懂了的，他得自己把10根小棒摆成一排，数一遍，再用皮筋把这10根扎成一捆，摸一摸这捆小棒的厚度，数的时候不用一根一根数，直接数这一捆就代表10。这个扎皮筋的动作，这个摸小棒厚度的触感，才是“十进制”这个概念在他脑子里扎根的地方。你把这个环节省了，直接把小棒收走写定义，学生记住的只是一句没有任何经验支撑的话，跟背“床前明月光”没区别。
从认知负荷理论的角度说，这种直接从实物跳到符号的教学方式，本质上是把本该由操作环节分解的认知负荷，全部压到了学生的工作记忆上。当学生没有通过操作建立起跟概念绑定的具身经验的时候，所有的概念信息都是孤立的、没有意义的符号碎片，在工作记忆里占的认知容量会特别大，学生根本没法把这些碎片组织成有逻辑的认知结构，只能靠机械背诵完成任务。而机械记忆的东西，忘得快，用不活，遇到稍微变一下的情境，就完全认不出来了。
我真的见过太多老师，把课堂的每一分钟都算得死死的：摆小棒2分钟，讲定义3分钟，做练习10分钟，多一秒都舍不得给学生留。你问他为啥，他说“考试不考摆小棒，只考定义和计算”。可考试考的是啥？是学生能不能用抽象出来的数学知识，解决新的问题啊。你把抽象的过程省了，学生背下来的定义，到了考场上换个情境就不认得了，这账怎么算？
之前跟个教了二十年书的老教师聊，她吐槽现在的小孩越来越笨，连十进制都记不住，每次考填空“10个一是（ ）”，总有一半人填错。我没好意思当面说，哪是小孩笨，是你把人家扎皮筋的那三分钟给省了——那三分钟就是抽象的关键节点啊！你不让他亲手扎一次，他怎么知道10根小棒凑在一起，跟1根小棒有啥不一样？
假抽象的核心，是把“抽象的过程”偷换成了“抽象的结果”。老师把自己已经抽象好的符号、定义、公式，直接塞到学生手里，还觉得是在帮学生省时间，实际上是把学生爬坡的梯子给拆了，让人家直接站在坡顶往下看，他当然不知道坡是怎么爬上来的。
就像现在很多地方教“认识人民币”，总觉得大家都用手机支付，这部分内容太老了，没必要让学生拿仿真人民币模拟买东西，直接讲“1元=10角”，让学生背换算关系就行。可这部分内容里的抽象是什么？是学生要拿仿真的人民币，去模拟买一块橡皮、一支铅笔的过程，知道1元的硬币可以换10个1角的硬币，这个等量关系跟之前学的十进制是完全通的。你跳过买东西的操作直接讲换算，学生根本理解不了为什么1元等于10角，他只会觉得这是老师定的硬规则，要背下来应付考试。等他下次遇到人民币换算的题，还是会错。
抽象不是“一步到位”：被跳过的中间表征层
我在课堂观察的时候发现，现在很多老师设计的数学抽象路径，是一条笔直的直线：左边是实物操作，右边是符号表达，中间啥都没有。好像学生只要从实物这头跨一步，就能直接踩到符号那一头。
哪有这么容易的事。
儿童的抽象发展，从来不是一步跨过去的，中间必须有两个关键的表征层：一个是表象表征，就是学生在做完操作之后，能在脑子里浮现出刚才操作的画面；另一个是半符号表征，就是学生能把脑子里的画面，用简单的图形、标记画出来，不用再拿真的实物操作。这两个层，就是从实物到符号的台阶，缺了哪个，学生都跨不过去。
就拿小学高段的分数概念来说，很多老师的教学路径是：先拿个圆纸片折成四份，涂其中一块，然后直接在黑板上写“1/4”，告诉学生这就是分数，把定义念一遍，就让学生开始做练习题。看起来流程很顺，实际上中间缺了两个台阶：第一个台阶是，学生折完圆纸片之后，要在脑子里浮现那个涂了一块的圆的样子，知道这个涂色的部分代表整个圆的四分之一；第二个台阶是，学生要在草稿本上自己把这个圆画出来，不用涂阴影，直接在涂色的位置标个1/4。等他这两个台阶都走稳了，再看到1/4这个符号的时候，才能自动调出之前折圆、画圆的经验，知道这个符号不是写在纸上的死数字，是“把东西平均分成几份，取其中几份”的动作。
初中的代数入门也是一样。很多老师刚讲有理数的时候，直接拿温度计举个例子，说零上的是正数，零下的是负数，然后就开始讲正负号的运算规则，让学生背“负负得正”。中间缺了什么？缺了让学生自己画数轴的环节：从温度计的刻度，到自己在草稿本上画一条直线，标上0、1、-1、2、-2，把温度的数值一个个标在对应的位置上，再慢慢把刻度简化成点，把点简化成符号。这个自己画数轴的过程，就是从具象的温度，到抽象的有理数概念的关键台阶。你把这个台阶省了，学生背下来的“负负得正”，就是一句没有任何意义的口诀，遇到“-3的绝对值是多少”的题，他还要想半天口诀是啥。
初中数学有理数单元学生手绘数轴课堂作业展示
我之前看很多老师的教案，总把“画线段图”“画示意图”当成是给学困生的“笨方法”，觉得优等生根本不需要画图，直接列式子就行。真的大错特错。画线段图的过程，本身就是数学抽象的核心过程啊！你要把应用题里的具体场景——比如“小明有5个苹果，比小红多2个”——把“小明”“小红”“苹果”这些带具体名字、具体物品的内容全部去掉，换成两段长度不同的线段，把数量关系标在线段上，这不是抽象是什么？
根据最近发展区的理论，老师在课堂上要给学生搭的学习支架，从来不是直接把最终的抽象结果给学生，是要把那个从实物到符号的梯子，搭得高度合适，让学生能一步步爬上去。低段的小棒图，中段的线段图，高段的符号化表达，每个台阶的高度，都要刚好在学生踮踮脚就能够到的位置，不能一步跨到顶，让学生摔下来。
真正的数学抽象，从来不是让学生跳过经验直接接住符号，而是让学生在经验和符号之间，搭好属于自己的认知台阶。
我见过最离谱的作业设计，是让三年级的小孩抄十遍“分数的定义”，抄到最后连“平均分”三个字都写得歪歪扭扭，你问他1/3和1/4哪个大，他还得掰手指头算。这哪是在培养抽象能力，这是在拆学生对数学的兴趣。你与其让学生抄十遍定义，不如让学生回家拿一张正方形的纸，折出三个不同的分数，把折痕画出来，标上对应的数。这个折的过程，比抄十遍定义的学习效果好一百倍，学生对分数的抽象理解，也是在这个折的过程里慢慢建立起来的。
别拿“成人的抽象”要求小孩：那些被误判的“思维倒退”
别拿“成人的抽象”要求小孩：那些被误判的“思维倒退”
我在课堂上经常碰到这样的场景：老师讲完一个知识点，让学生做练习题，发现有个学生做题的时候，总在草稿本上画小图、摆小方块、画线段，就会走过去敲敲他的桌子，说“都上X年级了，怎么还要靠画图做题？能不能直接列式子，提高点做题速度？”
每次听到这种话，我都觉得有点可惜。
很多老师总觉得，学生做题的时候还要画图、要靠实物辅助，就是抽象能力差，是“思维倒退”。可从社会文化理论的视角看，人的思维发展从来不是一条直线，从低阶的具象思维，到高阶的抽象思维，是会反复的。遇到难的问题，人就会退回到更具象的表征，把问题想清楚了，再往抽象的方向走，这是再正常不过的认知过程，根本不是什么能力差。
之前听一节初二的一元一次方程课，讲追及问题。有个男生做题的时候，非要在草稿本上画两个小人，标上速度、出发时间、两地的距离，画得还挺像那么回事。老师当场就把他的草稿本收了，说“不要搞这些没用的，直接套公式列方程，浪费时间”。结果那男生后面整节课都低着头，下课的时候我看他作业本上的方程全列错了。
你把他的支架拆了，他怎么算得对？
那个男生画两个小人的过程，就是在把抽象的追及关系，转化成自己熟悉的具象场景。他不是不会抽象，是他需要用自己的方式，把题目里的数量关系理清楚，才能列对方程。你不让他画，他脑子里没有那个具象的画面，看到“追及”两个字，就只知道套公式，根本不知道公式里的每个字母代表啥意思，当然会错。
现在很多老师对数学抽象的评价，也走偏了。大家总觉得，学生能背出定义、能直接写出符号、能快速套公式做题，就是抽象能力强。根本不看学生在遇到陌生问题的时候，能不能主动调用自己之前搭建的抽象路径，把陌生的问题转化成自己熟悉的数学模型。
比如，一个小孩遇到“商场打折，满300减100，相当于打几折”的问题，他如果能主动画个线段图，把300的价格分成三段，减去100之后实际付200，再用200除以300算出折扣，这就是抽象能力到位了。比他能背十遍“折扣=实际售价/原售价”强一百倍。因为他知道，这个公式不是老师给的，是他自己从具体的打折场景里抽象出来的。
我在教研活动里跟很多老师聊，发现大家现在一提“数学抽象核心素养”，就觉得要找最难的题给学生做，比如刚学有理数，就让学生做那种“找规律，用n表示第n个式子是啥”的难题，觉得做难题才能培养抽象能力。这完全走偏了。
数学抽象不是什么玄乎的、要靠做难题才能练出来的能力。它就藏在每一个日常的课堂细节里：是低段学生扎小棒的三分钟，是中段学生画线段图的草稿纸，是初中学生自己画数轴的练习本。你把这些细节给足了，学生的抽象能力自然就长出来了。
学生在抽象过程中的“回头看”，不是能力不足，是认知建构的正常环节。你别拿成人已经固化的抽象思维，去要求一个正在爬坡的小孩。成人看到一个数字，能直接联想到它代表的所有意义，是因为你已经在无数次的经验里，把那个数字和对应的经验绑定了。小孩没有这个绑定的过程，你就让他直接用数字，他当然接不住。
前几天碰到之前听的那节三年级数感课上的小女生，她现在上六年级了。上次碰到她妈妈，说她现在最喜欢上数学课，因为她现在看到数字，就能想起之前扎小棒的感觉，知道数字不是写在纸上的死符号，是自己一捆一捆扎出来的数。上次学百分数，她自己回家用超市的促销海报，算了好几个商品的折扣，算完还跟妈妈说，原来百分数就是把东西分成100份，跟之前学的分数是一样的。
挺好的。
真的，数学抽象从来不是什么写在课标里的玄乎概念。就是小孩在课堂上，有足够的时间摸、摆、折、画，慢慢把这些具体的经验，攒成自己能拿来用的数学工具。
别催。
催快了，就成假的了。
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文章名称：从数小棒到写符号：中小学数学抽象的“真爬坡”与“假跳跃”
文章链接：https://www.ahtcedu.cn/article/63378.shtml